Potenzmengenaxiom

Das Potenzmengenaxiom ist ein Axiom aus ZFC, das es erlaubt, zu jeder beliebigen Menge M auch die Menge all ihrer Teilmengen zu bilden. Diese Menge aller Teilmengen von M heißt Potenzmenge von M und wird oft mit Pot(M) bezeichnet. Betrachten wir ein einfaches endliches Beispiel und definieren M als die Menge mit den zwei Elementen 1 und 2. Wir setzen also M = {1, 2}.

 

Eine Teilmenge von M ist eine Menge, die höchstens die Elemente aus M enthält. Welche Teilmengen von M gibt es? Zunächst die leere Menge {} (diese ist Teilmenge jeder beliebigen Menge). Dann die einelementigen Mengen {1} und {2}. Und schließlich die gesamte Menge {1, 2}. All diese Teilmengen sind die Elemente von Pot(M). Es ist also

 

Pot(M) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}

 

Funktioniert das auch mit unendlichen Mengen? Was wäre zum Beispiel die Potenzmenge von N = {0, 1, 2, 3, ...}, also der Menge aller natürlichen Zahlen? Pot(N) müsste alle Teilmengen von N (endliche wie unendliche) als Elemente enthalten, also zum Beispiel die endliche Menge {0, 4, 17} und die unendliche Menge aller Primzahlen.

 

Laut Potenzmengenaxiom gibt es zu jeder Menge die zugehörige Potenzmenge, also auch zur Menge N. Das Problem ist, dass die Potenzmenge einer unendlichen Menge überabzählbar ist. Insbesondere kann es daher kein Verfahren geben, dass alle Teilmengen einer unendlichen Menge (zum Beispiel anhand einer geeigneten Beschreibung) aufzählt. Das Potenzmengenaxiom ist also nicht konstruktiv. Im Gegensatz zum Auswahlaxiom nennt es aber immerhin noch die verbindende Eigenschaft aller Elemente der Menge, deren Existenz es fordert, nämlich die Eigenschaft, eine Teilmenge einer vorgegebenen Menge zu sein.


Georg Cantor hat gezeigt, dass die Potenzmenge einer Menge immer mächtiger ist als die Menge selbst. Das bedeutet: Für keine Menge M ist es möglich, die Elemente von M und die Elemente von Pot(M) eins zu eins einander zuzuordnen. Es müssen zwangsläufig Elemente von Pot(M) übrig bleiben. Ausgehend von der abzählbaren Menge N kommt man durch fortgesetzte Potenzmengenbildung daher zu immer mächtigeren Mengen, zu immer höheren Stufen der Überabzählbarkeit.

 

Das Potenzmengenaxiom ist dafür verantwortlich, dass es überabzählbare Mengen gibt. Es wird insbesondere gebraucht, um die reellen Zahlen zu definieren. Es lässt sich zeigen, dass Pot(N) genauso mächtig ist wie R (die Menge der reellen Zahlen). Man kann also die Teilmengen von N eins zu eins den reellen Zahlen zuordnen.