Unendlichkeitsaxiom

Das Unendlichkeitsaxiom ist ein Axiom aus ZFC und das Bekenntnis der Mengenlehre zum aktual Unendlichen. Man beschließt damit, dass es eine bestimmte unendliche Menge (als fertig gegeben gedachtes Objekt) gibt. Zusammen mit den anderen Axiomen aus ZFC kann man dann die Existenz anderer unendlicher Mengen herleiten.

 

Konkret fordert das Unendlichkeitsaxiom die Existenz einer Menge, welche die leere Menge als Element enthält und zu jedem Element einen Nachfolger (der sich von allen vorangehenden Elementen unterscheidet). So entsteht eine unendliche Folge von Elementen. Die Elemente dieser Folge könnte man 0, 1, 2, 3, ... nennen (und bei einem mengentheoretischen Aufbau des Zahlensystems tut man das auch). Das Unendlichkeitsaxiom fordert also im Prinzip die Existenz einer Menge, die alle natürlichen Zahlen enthält.


Die mengentheoretisch konstruierten "natürlichen Zahlen", die im Unendlichkeitsaxiom als Elemente der unendlichen Menge auftreten, werden nach einem Vorschlag von John von Neumann so definiert:

 

0 = {}

1 = {0}

2 = {0, 1}

3 = {0, 1, 2}

...

allgemein also

n+1 = {0, ..., n}

 

In Worten: Jede Zahl wird als Menge ihrer Vorgänger definiert (das ist eine Menge, die gerade so viele Elemente enthält, wie die definierte Zahl angibt).

 

Für jemanden, der nicht mit Mengenlehre vertraut ist, ist eine solche Definition sehr ungewohnt, aber sie hat den Vorteil, dass es in der Mengenlehre nur eine einzige Art von Objekten zu geben braucht, nämlich Mengen. Damit lässt sich alles, was man in der Mathematik üblicherweise braucht, aufbauen.

 

Das Unendlichkeitsaxiom legt den Grundstein für die transfinite, die unendliche Mathematik.